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推荐两个不等式洪玉兴本文介绍两个特殊形式的不等式，并应啊它仃]给出中学数学中散见于各种书刊上一类较复杂题目的简捷解法．引理设，∥(z)>o，则有 n11∑jF(z。)，∑zi、匕L—一≥，0兰。)，期‰(￡=1，2，…，佗)是使jF∥(z)>0成立的区间上的任意铭个点，等号仅当z．=z。=…：z。时成立．证明 n∑2=1=口，贝lJmin{z1，z2，“‘，七”}o成立的区间上。由泰勒公式得，(z】)=，(口)+f7(o)·(zI一口)+，，，(¨·鱼1≯2≥，(口)+，7(a)(z1一口)．其中孝1=口+0l(zl一口)(o<汐1<1)仅当zI_o时成立．同理，?等号 f(xs)≥，(a)+，7(口)(z2一o)．●…”， f(xn)≥，(口)+，7(口)(z。一口)．11把以上各式相加，并不U用∑2；=刀口易得 j=1 n∑f(xi)≥忽，(g)，Hn≥， n∑zi i=1 n等号仅当z-=zz=…=z。时成立，引理获证．定理(J)／111I∑ai、1‘：1梆4—1(I)i圣1寺≥高．=盯?／，若．、”·其中口j∈(o，+。。)(z=I．j，：．．，N)，m， aGN a等号仅当口，=口。=…=d。时成立．7证明(1)当靠=1时，(I)。(I)式显然(2)当露>I时，考虑辅助函数厂t(222 zn，，。(z)=．T-^l‘·‘，l(z)=挖(铊一])。n一，扩，2(2)=挖(靠+1)x—n～，．、当￡∈(o，+∞)时，有，：『(z)>o，扩，2(z)>o．由引理得 j=1 m即0 n、2一a‘≥ i=1口?≥ m∑ i=1’ m(，擎m)” m^一l3上‘-一 n i=1玑、1了≥■卜_∑1 air， m即∑ i=11＼—-广乒口l，，；“+1(；耋t／i)“·)”，定理的两个应用如下．’一、证明一类代数和三角不等式例1．设口、6、c是正实数，且√矿 f影扩=竹．求证：仃+b≥』一，竹一l。 m∑理定●死～2I|I●0、，∞+0／t∈口．中证盐一获、，Z f， n∑“≥ n‘盯 m∑刮．A．中等数学————————————————一一——————^——_—p__—-_——__—_—_—-—-__l___—-_______∞_-_∞一证明由(1)式借。+6：(√口一yn同理可证o≤岔≤詈a，o≤秒≤专辟． o"+(√厂畛警“：音．例2．设口l， a2，…，口，。是凸挖边形的内角，求证：．．墨{凌纛杀巾列 i：1口：．…¨Ⅳ一纠。证明由(Ⅱ)式得∑11 j【_ i=1疗；≥莓了2矗·特别地，当靠=3时，有寺+寺+专≥睾·一+～+一≥——F． d： d； a；刀例3．设a>O，2"4-扩"4-孑=口，且。z+穿z甜；{．求证．2，弘2都是非负数且都不大TT。a．证明由题设显见z，可，2不可能全为负数，从而可分下列三种情况：(1)喾，Y，z均是正数，则 z十箩=口一z>e；(2)毒，扩，z中有两个正数，不妨设 x>O，y>O，则 z+箩=O一石>C；(3)z，扩，名中仅有一个正数，不妨设zo．由此可知，无论上述何种情况，由(I)式得到 z2．4-矿2≥结合霉2+生一z z≥2。／(口一名)22：12二一2。就可得一‘拶L叫1寸(口一z)22’化简．为石(弛～2a)≤o，解之得o≤石≤专8．伊《4．设岔i>O(吾=1，2，…，田)’∑n。：=：L。求证1．虽(∞寺)>鼍孚，证明嚏](1)式得∑a：≥音·由(I)式得∑音≥疗8；则；塞(¨丢)2：．如+；翳们凡 i=I‘一≥}州锄=譬≠。特别地，当霸：3时，则有(口，+百1_)2+(州去)2+(”丢)2≥等．=、解特殊的多元方程组例5．求方程组(：二：-。科Z=2瑙0’79的正整数解．(见数学通报79年第2期)解原方程组可化为 f!f+z=6霉一20，(1-)L可2+z2=1979一茹2．(2)。．．方程组的解满足tt>O，y>O，z>O，则由(I)式可得芗z+石z≥』堕÷型芷．(3)由(2)，(3)并整理得19喾2一120x—1779≤0，解之得一73寺，结合(4)得z=4，5，6，…，13．把它们分别代入原方程组解之可得；1986年第一期．9．’——————————————————————————————’——————————一--

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