数学中一种基本的思想方法类分法

数学中一种基本的思想方法——类分法陆克毅张文贵当被研究的问题出现多种可能的情况时，我们往往按可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论．这种思想方法，人们常称为类分法．●●●我们认为，对“类分法”进行深入探讨确有必要．首先，“类分法"是数学中基本的思想方法之一，中学数学中有大量可资运用这种方法的内容和习题，其次，这种方法是中学生学习的重要方法之一，用它可以整 zl=13，矿l=21，名1。=37； z3=11，5，3=8， z3=43j￡2=13，3，2=37，石2=21； z4=11，扩4=d3，石4=3．即为原方程组的正整数解．例6．求方程组kf x++笏Z奠18的整数解．(78年全国部分省市数学竞赛试题)解观察原方程组，易见方程组的解只可能是二正一负或二负一正的整数．现分别讨论如下：<一>(1)设z>O， y>O，zO，z>O，扩0， z>O，z不仿设￡O．则有一x>O，二∥>O，一名的解法，推得原方程组没有整组解，故原方程组的整数解就是上述六组。(作者单位：江苏江阴县教师进修学校)33乙一 b一乞L l|一一1l88Z扩Z嚣矿Z，，●J、●●●●【，●●●J、，●I，，3；3L一2一L乃==T|= ll=SZ芗ZZ扩石·lO·，中等数学分，即根据它的内涵，对它的外延实行分类，使得同一类里的对象具有同一的属性，不同类里的对象具有不同的属性．而这些类又分别构成若干新概念的外延。这些新概念称为从属于原来那个概念的种概念。譬如，按照大于、等于或小于零的性质可将整数集Z进行分类，将“整数"概念划分为三个种栅念：“正整数”，“零"，“负整数”．用来划分概念的那些属性，称为划分的●●●根据．根据不同，划分的结果也不同．应根●●据概念的特点及研究的目的，选择最邻近的种概念来则分．这就是说，在具体问题中，概念的划分一般总是有章可循的．为了不发生混乱，概念的划分应该自始至终保持使用同一个根据．而且，在完成了一次划分∞后，对分出来的一个或多个种概念可以使用另外的根据再次进行划分．就是说，划分是可以多层次进行的．显然，一个●●●●●●●●●●●概念实行多层次的划分，对应着其外延的多层次的分类．综上所述，我们可以把问题P中的某种条件所包含的种种情况视为一个个元素，于是得到以这些情况作为元素的集合A．然后，我们把凡是可用同一种方法解决的情况(元索)放到一起做成4的若干子集．易见，这些子集构成4f铲个分类．对应于每个雀，有一种解决的方法，对应于这每种方法．都有问题P在某种情况下的一个结论，综台这些结论，就得到问题P的正确解答．这种方法就是类分法．因此，类分法是以概念的划分、集合的分类为基础的一种思想方法．使用类分法应遵循下列原则：1．对某个问题实行类分时，要使用同一标准．．2．情况要分得全，没有遗漏．3．任何两种不同情况之间是互相排斥的．下面举例说明类分法在中学数学中的运用．一、用类分法定义概念例1．有理数或实数绝对值的代数定义方式是用类分法给出的；，口，当邙≥0时； l口I={、一a，当口<0时．这个定义有两个特点：．。1。选择口=o作为分情况的标准，2。在每种情况下，其结果都不含绝对值号，因此此定义也给出了脱去绝对值号的一种方法．例2．所谓分段函数，是指用类分法给定的函数．例如，狄里克莱函数，1，当霉为有理数时，秒=，(葶)={、0，当髫为无理数时．，整数，有理数{{、分数。无理数=、用类分法揭示一个概念究竟概括了何种曩性的对象(即概念的期分)例如，“复数”可作如下多层次的分类 f正整数：0＼负整数1．．，纯虚数(口+bi，口=0，6≠0)I虚数{。 d+bi(西≠O)、非纯虚数(a+bi，口≠0，6≠0)三、运用类分法讨论数学对象的性质例1．二次函数弓，=口窜2+6岔+口(口≠O疗>0的增减性的讨论要分以下情况；6霉≥一i了，增，6毒

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