中学数学一题4解：已知m、n为正数，m+n=1，求mn的-中学数学杂志社投稿

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中学数学一题4解：已知m、n为正数，m+n=1，求mn的

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要说中学最难学的科目，数学肯定都是在很多人的备选项之中，特别是高中数学。中学数学真的有那么难吗？其实并没有那么难，关键还是在于学习方法出了问题。就拿高中数学来说，现在很多学生都是一味刷题，不注重基础知识的学习和理解，也不注重知识的融会贯通。这样学习下去，数学只会越学越差。

本文和大家分享一道中学数学的经典题目：已知m、n为正数，且m+n=1，求mn的最大值。

这道题目的难度不算大，但是解题方法比较多，本文介绍4种比较常用的解题方法。通过不同的解题方法，把中学数学的一些知识点串联起来，加深对知识的理解。

解法一：函数思想

题目里面出现了两个变量：m和n，可以用一个变量来表示另外一个变量。比如因为m+n=1，所以m=1-n，所以mn=(1-n)n=-n2+n。这样mn就变成了一个关于n的二次函数，下面只需要求出这个二次函数在n大于0而小于1这个范围内的最大值即可。

解法二：函数思想＋换元法

因为m+n=1，所以可以设m=1/2+t，n=1/2-t。又因为m、n都是正数，所以t在负二分之一到正二分之一之间。这样一变换，mn=1/4-t2。很明显，当t=0，即m=n=1/2时，mn取得最大值。这种解法用到了函数和换元的思想，都是中学数学比较重要的方法。

解法三：数形结合

m、n都为正数，那么mn就可以看成是一个矩形的面积，所以需要构造出一个矩形。因为m+n=1，所以2m+2n=2，即可以看成该矩形的长和宽分别为m和n、周长为2，也就是说构造出的这个矩形的周长为定值。在小学数学就已经学过，矩形周长一定时，长和宽相等即为正方形时面积最大。也就是m=n=1/2时，mn取得最大值1/4。

解法四：基本不等式

基本不等式是高中数学非常重要的考点，基本形式是：当a、b都大于0时，a+b≥2√ab，当且仅当a=b时可以取到“=”。基本不等式的适用条件可以简单概括为7个字：一正二定三相等。很明显，本题满足基本不等式的适用条件，所以mn≤[(m+n)/2]2，即可得到mn的最大值为1/4。

这道题本身的难度并不大，但是通过一题多解的方法，有助于拓展数学思维，而且本题几种解题方法涉及到了中学最重要的数学思想：函数思想、换元法、数形结合等。你还有其他解题方法吗？欢迎交流！

文章来源：《中学数学》网址: http://www.zxsxzz.cn/zonghexinwen/2020/0912/546.html